ペントミノ

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ペントミノの各ピース:上1列左から F, L, N, P, Y, Z.上2列左からT, U, V, W, I, X.下半分も同様。

ペントミノポリオミノの一種である。5つの正方形を辺に沿ってつなげた形は回転・鏡像によって同じになるものを同一と考えると12種類ある。これらを総称してペントミノと呼ぶ。

鏡像を別物とすると、さらに6種増えて18種になる(F, L, N, P, Y, Z は鏡像が別物だが、I, T, U, V, W, X は線対称である)。これらを特に「片面型ペントミノ」とも呼ぶ。

90度回転まで考えると、対称性によって以下のようにグループ化できる。

  • F,L,N,P,Y 線対称でも点対称でもない
  • Z 線対称ではないが点対称である
  • T,U,V,W 線対称であるが点対称でない
  • I 2本の軸に対して線対称であり、点対称でもある
  • X 4本の軸に対して線対称であり、90度回転対称でもある

目次

商品

ペントミノ各種。 上左:平面。プラスチック製。日本製。2×2ピースを加えて8×8サイズの箱で売られているもの。 上右:立体。白木製。日本製。 下:立体。木製。中国製。

ペントミノは、多くのメーカーからパズル知育玩具として発売されている。プラスチック製や木製のものが多い。代表的な製品にテンヨーのプラパズルがある。

ピースの数が12であることから、各ピースを十二星座十二支に見立てたデザインも発表されている。

問題

長方形

最も一般的なペントミノの問題は、12片すべて使用して長方形を作ることである。

3x20, 4x15, 5x12, 6x10 の各長方形に対して、

  • 6x10 には 2,339通り
  • 5x12 には 1,010通り
  • 4x15 には 368通り
  • 3x20 には 2通り

の解がある。(回転・鏡像による解は同一のものとする)

6片ずつで 6x5 の長方形を2つ作る解もあり、その解から 6x10 と 5x12 のそれぞれ8種類の解が導かれる。

UXPILNFTWYZV と並べると、下のような 3x20 の1つの解が得られる。3×20は2つしか解を持たないが、この解の中央部分(LNFTWYZ)を反転させることで3×20のもう1つの解を得ることができる。

Pentomino3 20.JPG

ペントミノファーム

ペントミノ1セットで空所のある図形を作成する問題を総称して"ペントミノファーム"と呼ぶ。空所の形状に制限はないが、外部と点で接触していてはいけない。

外形・空所ともに何も制限がないときには、面積128の空所が最大であることが証明されている。[1]

制限がある問題としては、外形は自由で空所は長方形(90)・外形は長方形で空所の形は自由(61)・全体が線対称(88)や点対称(59)などの問題がある(数字はその条件下で確認されている空所の面積の最大値)。

その他の問題

他の問題として、12片から1片を選び、残った11片のうちの9片で選んだ片の一辺を3倍に拡大した図形を作る問題がある。ペントミノ9セットで、3倍の大きさのペントミノ1セットを作ることもできる。

解の総数

多くの問題において解の総数を手で求めることは難しく、コンピューターによって探索されることも珍しくない。

6×10 の長方形に詰める方法の全解は、1960年にイギリスの C. Brian HaselgroveJenifer Haselgrove によって求められている。

8×8 の正方形の中央に 2×2 の穴がある形は1958年にデイナ・スコットにより解が65個であることが求められている。

対戦ゲーム

ペントミノを利用して2人で遊ぶゲームがある。

8x8 のマスに交互にペントミノを置いていき、置けなくなったほうが負けになる。

両者が最善を尽くせば、先手が勝つ。

立体ペントミノ

ソリッドパズル FACOM

ペントミノの各ピースの厚さを1辺の長さと同じにすると、12片の立体が得られる。これらを立体ペントミノまたはプレイナーペンタキューブと呼ぶ。

何種類かの直方体に組むことができ

  • 5x4x3 で 3940通り
  • 6x5x2 で 264通り
  • 10x3x2 で 12通り

の解がある。

3x4x5 の解答は 3940通りあるが、この数を最初に出したコンピュータFACOMにちなんで、「FACOM」の名称で市販されたこともある(FACOM#FACOM 270 シリーズも参照)。

他に、1種のピースのみを複数使用して直方体を作る問題がある。この問題に関しては X以外のすべての片に対して解があることがわかっているが、いくつかは50片以上を必要とする。25片で立方体にできる物もある。

ライフゲームにおけるペントミノ

一般的なペントミノの名称(上)と、コンウェイによる名称(下)。
ライフゲームにおいては下の名称が使用されることがある。

ジョン・ホートン・コンウェイが考案したライフゲームにおいてペントミノがどう変化するかは、初期の段階に考察された。

N,P,U,Y,Zはすべて3-4世代で消滅する。V,Wは2-3世代でパンになり、I,L,T,Xは、6-10世代後に信号灯 (ブリンカーの集合体)になる。

残ったFペントミノ (ライフゲームではrペントミノ・Rペントミノとも呼ばれる)は、複雑な変化をする。その変化を追いかける過程でグライダーが発見されている。これは、安定するまでに1103世代を要する。最終形は、8個のブロック、4個の蜂の巣、1個のボート、1個の、1個のパン、4個のブリンカー、6個のグライダーからなる。

Fを含めたいくつかのピースは、通常と別の呼ばれ方をすることがある。これはコンウェイによる命名で、O-Zの連続した文字になるように命名されている(右の画像参照)。

その他

ペントミノは、ソロモン・ゴロムが1975年に商標をとったが、少なくとも1982年の時点でそれは失効している。

富士通で国産コンピュータの開発に尽力した池田敏雄には、玩具メーカーの依頼で始めたペントミノに凝るあまり、テレビに出演してペントミノの紹介をするに至ったというエピソードがある。(参考:柏原久『IBMを震え上がらせた男』かんき出版 p.131)

参考文献

  1. ^ 島内剛一「ペントミノ牧場」『ルービック・キューブと数学パズル』 日本評論社、2008年、132-146頁。 ※初出は島内「ペントミノ牧場」「特集 遊びの世界に数理する」『数学セミナー』 1978年3月号、11-16頁。

関連項目

[ ペントミノ ]の改訂履歴 出典: 『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2013/06/03 00:08)

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